How to wrap inner content of a paragraph after specific child element?

I have several bios that all look like this:

<p>
  Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
</p>

Not the prettiest text blocks, but they're auto-generated by the system. I need to iterate through each <p> and take everything after the first set of break tags and wrap that in something like a <div>.

The end result would be:

<p>
  Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.</p>

<div class="theRest">
  Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
  <br><br> Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Quisque tincidunt auctor purus, ut cursus quam fringilla id. Suspendisse a libero id mauris faucibus convallis at ut lacus.
</div>
</p>

Solution

Try this (inspired of @dave answer):

$("p").each(function(){

    // Add a div after the second <br /> (in the current <p>)
    $("br:eq(1)", this).after('<div class="theRest"> </ div>');

    // Split each "child" in an array
    $(this).contents().filter(function(index, elem){

        // Keep only children after the <div />
        return index > 3;

    // Remove and put them into the <div />
    }).detach().appendTo($(".theRest", this));
});

Fiddle